2. 3. L’infini

Penser le monde, c’est penser à l’infini car celui-ci est le point de vue du monde attaché à la moindre chose. Le monde est au bout de chaque être, dont aucun n’est son centre mais dont chacun est comme la limite. L’infini est la mesure métaphysique du monde. L’apercevoir doit nous dispenser d’en rechercher une vision ou une représentation, puisque l’infini n’est que le corrélât de toute opération de détermination – nous ne déterminons rien que par un passage à la limite. Loin d’être par essence indéterminé, l’infini est la détermination même ! De sorte que s’il n’est pas question de saisir ou de voir l’infini, il ne nous est pas interdit de le comprendre. Il nous est permis de comprendre sans représentation.

Télécharger le texte (105 pages) : L’infini. Cliquez sur le lien pour ouvrir le document ou faites un clic droit « enregistrer la cible » pour le télécharger directement.

Sommaire :

I – L’infini actuel

A) L’infini et l’indéfini

L’illimité. Aristote. L’infini n’est rien. L’infini est seulement indéfini. Une puissance en acte mais non pas un attribut de puissance. L’infinité de Dieu. Deux sens de l’infini au Moyen Age. Giordano Bruno. Tout est possible à l’infini. Descartes.  Apparition du ciel et de l’horizon en peinture.

B) L’instant

Une différence évanouissante, insaisissable. Aristote. L’instant n’est pas du temps. Husserl. La conscience de l’instant. Comment d’instants peut être tirée une durée ? Rétention et protention. La conscience comme temporalité. L’instant, gage de nouveauté et de création. Carpe diem. Le kairos, moment opportun. Les haiku. Fixer un instant fugace. Les moments d’une vie sans but. Suspendre le langage. La chronique d’un instant. La grâce de l’instant. Watteau. L’instant décisif de Cartier-Bresson.

II – Le calcul de l’infini

A) Le problème du continu

Les Pythagoriciens et la découverte des grandeurs incommensurables. Le théorème de Pythagore. Les paradoxes de Zénon. Les deux premiers arguments : contre la divisibilité infinie du temps et de l’espace. Les deux autres arguments : contre l’indivisibilité infinie du temps et de l’espace. Le problème du continu. Le continu est-il un infini actuel ou seulement potentiel ?

B) Le calcul infinitésimal

La méthode d’exhaustion d’Euclide. Archimède. Le calcul intégral est né sans l’infini. Les indivisibles de Cavalieri. Calcul de la cycloïde. Etude des séries infinies. L’invention du calcul infinitésimal : Newton. L’exhaustion devient infinitésimale : les indivisibles sont remplacés par des quantités évanouissantes. L’invention du calcul infinitésimal : Leibniz. La notion de fonction. La première véritable reconnaissance d’un infini actuel : les infinitésimaux. La métaphysique du calcul infinitésimal au XVIII° siècle. Retour de l’infini potentiel. Le concept de limite. La notion de convergence. Définition rigoureuse de la limite. Extension de l’intégration à des fonctions non-continues. La “crise” ouverte par le calcul infinitésimal. L’analyse non standard.

C) Le transfini

Le nombre distinct de la grandeur. La notion de coupure. Les irrationnels sont des nombres comme les autres. Rendre le discret continu. Cantor. Fontenelle et l’infini. Le nombre des nombres entiers. Le premier infini mathématique actuel. Le transfini est le nombre des ensembles infinis. Transfini cardinal et transfini ordinal. A l’infini, le tout est égal à sa partie. L’aleph, la puissance d’un ensemble dénombrable. R n’est pas dénombrable. L’hypothèse généralisée du continu. Folie de Cantor ? Poincaré. Brouwer. Wittgenstein. La possibilité n’est pas l’être, sinon par un abus de langage. Ce n’est pas parce qu’on calcule à l’infini que l’infini est. Le véritable enjeu de l’infini actuel. Deux formes de rationalisme. Leibniz. L’infini n’est pas un nombre mais une opération. Le monde est plein. L’infini est une expression de l’univers. Le principe de continuité. Plotin La discontinuité physique. L’infiniment court. La discontinuité quantique. Discontinuité de l’univers quantique. Les relations d’incertitude.

III – L’infini métaphysique

A) Bernard Bolzano. Les paradoxes de l’infini

La première définition de l’infini numérique qui n’est pas celle d’une progression indéfinie. Quelle est la somme de 1-1+1-1+1… ? L’infini ne correspond pas à une indétermination, quoiqu’il ne soit pas non plus un nombre. C’est un concept manipulable dans un calcul. Un infini peut être plus grand qu’un autre. Bolzano et Cantor. Dieu comme un être infini.

B) Nicolas de Cues. De la docte ignorance

L’infini exprime la suressentialité. L’infini absorbe tout. A l’infini, les opposés se rejoignent. Le courbe est droit. L’infini est unité. Le monde n’a pas de circonférence.

C) Hegel. Science de la logique. I. L’Etre

Tout l’infini est dans le fini. L’opposition du fini et de l’infini. Le “mauvais infini”. L’infini mathématique. Incompréhensions de la démarche hégélienne. Les mathématiques saisissent bien toute la vérité de l’infini.

Iconographie :

Meister_des_Marienlebens_visitation

Le Maître du mariage de la Vierge. La visitation.

1280px-Angels_dancing_sun_Giovanni_di_Paolo_Condé_Chantilly

Giovanni di Paolo. Cinq anges dansant.

tumblr_m0ouulKN1Y1qfswibo1_500

Watteau La récréation galante.

WatteauGilles-Pierrot

Watteau Gilles.

fingrat

Greuze. Le fils ingrat.

bresson_gare_saint_lazare

Henri Cartier Bresson Gare Saint-Lazare.